Математическое моделирование раковой опухоли

Выявить взаимосвязь между математикой и проблемой рака.

  1. Выяснить, были ли в истории попытки связать математику с медициной.
  2. Исследовать зарождение математики как способ борьбы с раком.
  3. Узнать были ли случаи победы над раком с помощью математики.
  1. С помощью математики можно узнать причины образования опухолей.
  2. Использование математических моделей позволяет лучше проанализировать огромные объемы накопленных данных.
  3. Раковые заболевания можно вылечить с помощью математических моделей.
  1. Изучить научную литературу.
  2. Выполнить опрос.
  3. Найти ответы на интересующие вопросы.
  4. Подвести итог.

Введение:

Такой болезнью, как рак – не хвастаются. Всем известно об этой страшной патологии. Но еще страшней тот факт, что она стала намного масштабней. За последние пят лет можно проследить определенные тенденции патологии к увеличению. За несколько последних лет число онкологических патологий значительно возросло в бедных африканских странах, в Восточной Азии и России. В рамках нашей страны наибольший процент онкологии фиксируется в регионах с сильно развитой промышленностью, что обуславливается недостаточной экологией.

Зачем нужна математика?


Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах, абстрагируемых от конкретного содержания, разработала и применила на деле конкретные методы отвлечения формы от содержания и сформулировала правила рассмотрения формы как самостоятельного объекта в виде чисел, величин, множеств и математических структур. Именно это позволяет глубже выявлять скрытные логические связи между объектами, от которых абстрагирована форма, вычленять исходные положения, давать точные формулировки и строгие суждения. Математика дает образец дедуктивного мышления и построения теории.

Подробнее о математическом исследовании рака и о математических моделях мы рассмотрим в

Математическое изучение рака: опухоли в компьютере:

Математическое изучение раковых заболеваний проводится с использованием математических моделей и компьютерного моделирования. Математика при этом, во-первых, помогает выдвигать новые гипотезы о причинах образования опухолей, а во-вторых, использование математических моделей позволяет лучше проанализировать огромные объемы накопленных экспериментальных и клинических данных.

Математика и новые пути исследования:

В 2005 году исследователь Антонио Бру из мадридского университета Комплутенсе предположил, что на поздних стадиях раковые заболевания можно излечивать, вызывая сильное и продолжительное воспаление тканей вокруг опухоли. Эта гипотеза стала результатом математических исследований роста раковых клеток. В ходе исследований было отмечено, что рост всех клеток подчиняется одной схеме, которую Бру назвал схемой универсальной динамики роста опухолей. В этой модели клетки на границе опухоли играют определяющую роль в методе лечения, предложенном Бру. Первоначальное скептическое отношение к гипотезе отчасти было вызвано тем, что использованная математическая модель отличалась от классических моделей раковых заболеваний. Во-первых, в ней предполагалось, что рост клеток подчиняется не экспоненциальному, а линейному закону, а во-вторых, считалось, что рост опухоли зависит не от количества питательных веществ, а от свободного пространства. Это прекрасный пример того, как математика подсказывает исследователям новые пути лечения рака

Так же следует отметить ученого Сехё Цой. Он в месте со своими коллегами разработал математическую модель развития раковой опухоли. Учеными были детально проанализированы изображения раковых опухолей и питающих их сосудов. Получившиеся в ходе исследования результаты были подставлены в математические уравнения, описывающие достаточно сложное взаимодействие между раковыми и здоровыми клетками и окружающими их кровеносными сосудами. В конечном итоге появилась математическая модель, которая способна предсказать вероятностные границы роста раковой опухоли на основе распространения кровеносных сосудов вокруг нее. Несмотря на то, что исследования проводились на мышах, полученные результаты оказались очень точными.


Функция Гомпертца:

В 1964 году исследователь по фамилии Лэйрд заметил, что размножение раковых клеток в опухолях определенного типа описывается функцией Гомпертца. Функцию Гомпертца первыми применили страховые компании. Основная ее идея заключается в том, что с увеличением возраста уровень смертности возрастает в геометрической прогрессии. Если мы используем функцию в ином контексте, в частности применительно к раковым заболеваниям Эта функция весьма схожа с сигмоидой (логистической функцией): рост опухоли замедлен в начале и конце процесса. Замедление в конце процесса кажется очевидным, если учесть, что по мере роста опухоли клетки, расположенные внутри нее, получают меньше кислорода, отмирают и вызывают некроз ядра опухоли. В результате ее размер стабилизируется: рост внешней части уравновешивается отмиранием клеток во внутренней части.


Опрос:

Я провела опрос, чтобы узнать, знают ли люди, что математика очень важна в медицине, не только как способ дозирования лекарства, но и как помощь в исследовании серьезных заболеваний.








Итоги:

В результате получаем, что большинство опрошенных не знают о новых методиках, но им эта тема интересна. Они согласны с тем, что нужно искать новые методы борьбы с раком и необходимо проводить опыты и развивать математику, как лекарство.

Математическое моделирование:

Историческая хронология:

Кто был основателем? Кто проводил математическое исследование рака? Когда зародилась биоматематика? Давайте заглянем в историю развития методики, где найдем ответы на все вопросы.


Опыты и исследования:

По словам экспертов, в ходе осуществления дополнительных наблюдений врачи смогли рассчитать, какой из способов современной терапии является более эффективным для той или иной категории пациентов.В процессе реализации проектов научные работники улучшили результативность оказания медицинской помощи больным, страдающим острым лимфобластным лейкозом. Следует заметить, что анализируя персональные данные и сведения о состоянии здоровья детей, специалисты рассчитали, какой из методов лечения будет самым правильным и эффективным. Во время осуществления исследований авторы проектов установили, почему отдельные препараты или отдельные типы терапий действуют лучше, чем другие. В процессе проведения испытаний у медиков возник вопрос, как результат экспериментов зависит от физиологических свойств пациента.В качестве базы в опытах были задействованы 1773 добровольца. Возраст всех испытуемых составил до 18 лет. Научные работники анализировали влияние пола и диагноза на ход лекарственной терапии. Математическое моделирование позволило найти связь между комбинациями определенных признаков и эффективностью предложенного способа терапии.


Победа над раком:


  • Утверждается, что принявший участие в эксперименте больной страдал от рака печени в терминальной стадии. Исследовав конкретную опухоль, ученые вывели уравнение, решение которого предполагало повышение активности нейтрофилов — разновидности полиморфоядерных лейкоцитов, участвующих в работе иммунной системы человека. Предпринятая в отношении пациента терапия дала немедленныйположительный результат без каких бы то ни было побочных эффектов, в результате чего было отмечено полное выздоровление больного и восстановление трудоспособности.

Вывод:

Мы узнали, что не раз была установлена взаимосвязь математики с медициной. Многие ученые обращались за помощью к математики. Испытания комплексной математической модели в реальных клинических условиях показали высокие результаты. Однако, это только первый шаг в создании комплексной модели. Исследователи планируют провести массовые испытания для получения достаточного количества статистических данных, которые позволят значительно повысить точность моделирования, а также расширить область применения модели на все виды онкологических заболеваний. Необходимо развивать новую методику. ведь возможно именно она станет основным лекарством от рака.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Жукова Ирина Валерьевна, Колпак Евгений Петрович

Разработана математическая модель злокачественной опухоли , представляющая собой начально-краевую задачу для системы трех дифференциальных уравнений в частных производных. В модели введены три типа клеток, взаимодействующих между собой делящиеся, нормальные и погибшие. Учитывается ингибирующее влияние клеток друг на друга, так что рост непрерывно делящихся клеток сопровождается гибелью нормальных клеток и образованием погибших. Кинетические функции построены на принципе парных взаимодействий. В предложенной модели рост опухолевых клеток сопровождается вытеснением погибшими клетками нормальных. В модели иммунного ответа приведена оценка критической массы опухоли , при превышении которой решение задачи может стать неограниченно возрастающим. Математический анализ устойчивости стационарных решений проводится на основе первого метода Ляпунова. В линейном приближении дана оценка скорости роста опухоли , растущей в виде нити. Доказано, что решение нелинейной краевой задачи может представлять собой распространяющую волну, найдена минимальная скорость распространения волны. Разработан алгоритм решения нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, основанный на конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов. Поставлены численные эксперименты и проведено сопоставление их результатов с данными аналитических исследований.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Жукова Ирина Валерьевна, Колпак Евгений Петрович

MATHEMATICAL MODELS OF MALIGNANT TUMOUR

The mathematical model of a malignant tumor , representing an initial-boundary problem for the system of three differential equations in partial derivatives, has been developed. In models there are three types of cells that communicate among themselves, dividing, normal and dead. The inhibiting effect of cells on each other, that the growth of continuously dividing cells is accompanied by destruction of normal cells and by formation the dead cells, is taken into account. Kinetic functions are constructed on the principle of pair interactions. In the developed model the growth of tumor cells is accompanied by displacement of normal by dead cells. In the model of immune response the estimation of the critical masses, in excess of which the decision of problem can become an increasing unrestrictedly, has been given. Mathematical analysis of stability of stationary solutions is based on the first method of Lyapunov. In the linear approximation, the estimation of the growth rate of the tumor , growing in the form of thread, has been given. It is proved that the solution of a nonlinear boundary problem can be represented as a spreading wave, the minimum velocity of wave propagation was found. The algorithm of solving a nonlinear boundary value problem for a system of differential equations based on the finite-difference approximation of differential operators has been developed. The numerical experiments were put and a comparison of their results with the results of analytical research was done.

2014 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 3

И. В. Жукова, Е. П. Колпак

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗЛОКАЧЕСТВЕННОЙ ОПУХОЛИ

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация,

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Разработана математическая модель злокачественной опухоли, представляющая собой начально-краевую задачу для системы трех дифференциальных уравнений в частных производных. В модели введены три типа клеток, взаимодействующих между собой — делящиеся, нормальные и погибшие. Учитывается ингибирующее влияние клеток друг на друга, так что рост непрерывно делящихся клеток сопровождается гибелью нормальных клеток и образованием погибших. Кинетические функции построены на принципе парных взаимодействий. В предложенной модели рост опухолевых клеток сопровождается вытеснением погибшими клетками нормальных. В модели иммунного ответа приведена оценка критической массы опухоли, при превышении которой решение задачи может стать неограниченно возрастающим. Математический анализ устойчивости стационарных решений проводится на основе первого метода Ляпунова. В линейном приближении дана оценка скорости роста опухоли, растущей в виде нити. Доказано, что решение нелинейной краевой задачи может представлять собой распространяющую волну, найдена минимальная скорость распространения волны. Разработан алгоритм решения нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, основанный на конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов. Поставлены численные эксперименты и проведено сопоставление их результатов с данными аналитических исследований. Библиогр. 33 назв. Ил. 1.

Ключевые слова: математическое моделирование, краевые задачи, численные методы, опухоль.

I. V. Zhukova, E. P. Kolpak

MATHEMATICAL MODELS OF MALIGNANT TUMOUR

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg,

199034, Russian Federation

The mathematical model of a malignant tumor, representing an initial-boundary problem for the system of three differential equations in partial derivatives, has been developed. In models there are three types of cells that communicate among themselves, dividing, normal and dead. The inhibiting effect of cells on each other, that the growth of continuously dividing cells is accompanied by destruction of normal cells and by formation the dead cells, is taken

Жукова Ирина Валерьевна — аспирант; e-mail: zhira428@mail.ru

Колпак Евгений Петрович — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: petrovich—pmpu@mail.ru

Zhukova Irina Valerievna — post-graduent student; e-mail: zhira428@mail.ru

Kolpak Evgeny Petrovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor; e-mail: petrovich—pmpu@mail.ru

into account. Kinetic functions are constructed on the principle of pair interactions. In the developed model the growth of tumor cells is accompanied by displacement of normal by dead cells. In the model of immune response the estimation of the critical masses, in excess of which the decision of problem can become an increasing unrestrictedly, has been given. Mathematical analysis of stability of stationary solutions is based on the first method of Lyapunov. In the linear approximation, the estimation of the growth rate of the tumor, growing in the form of thread, has been given. It is proved that the solution of a nonlinear boundary problem can be represented as a spreading wave, the minimum velocity of wave propagation was found. The algorithm of solving a nonlinear boundary value problem for a system of differential equations based on the finite-difference approximation of differential operators has been developed. The numerical experiments were put and a comparison of their results with the results of analytical research was done. Bibliogr. 33. Il. 1.

Keywords: mathematical modeling, differential equations, boundary value problems, numerical methods, tumor.

Введение. Новообразования продолжают оставаться одним из менее изученных заболеваний всех млекопитающих, включая человека, и служат одной из основных причин их ранней смертности. В России около 15% смертных случаев среди населения приходится на долю онкологических заболеваний. По мнению специалистов, злокачественные новообразования практически неизлечимы 3. Одним из подходов в поиске эффективного пути лечения является математическое моделирование.

Первые математические модели опухоли представляли собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В моделях учитывались опухолевые (делящиеся), здоровые (нормальные) и погибшие клетки, питание, различные ингибирующие вещества, ответ иммунной системы [4]. Затем были предложены модели типа диффузия-адвекция-реакция, в которых опухоль рассматривалась как система с распределенными параметрами 11. Ткань, образованная тремя типами клеток, считается несжимаемой, поэтому в моделях предполагается, что суммарная их концентрация постоянна. Скорость роста ткани опухоли на основании второго закона Ньютона определяется через возникающее при генерации новых клеток избыточное внутреннее давление. Модели, учитывающие не только диффузионный рост опухоли, но и прорастание опухоли кровеносными сосудами, были представлены в работах 5.

Постановка задачи. В рассматриваемой модели опухоли учитываются три типа клеток: делящиеся, нормальные и погибшие. Предполагается, что апоптоз у делящихся клеток отсутствует. Нормальные клетки в отсутствие делящихся размножаются по логистическому закону. В процессе роста делящиеся клетки, выделяя токсичные

Пусть п\ - линейная плотность делящихся клеток, и2 - нормальных и из - погибших. Рост опухоли происходит на отрезке длиной I. С учетом введенных обозначений система дифференциальных уравнений, описывающая динамику трех типов клеток, имеет вид

+ 1^2и2 (1 - и2 ) - Ц2и2из - 72ии - 7з^из,

= (72ии + 71ихиз + 7зи2из)(1 - из).

В качестве граничных условий принимаются следующие: при х = 0

Они предполагают, что на границах отрезка происходит свободный рост численности клеток.

В отсутствие делящихся и погибших клеток из второго уравнения в (1) следует уравнение для роста численности нормальных клеток

В данной модели предполагается, что скорость их рождения равна ^2^2, а гибель происходит со скоростью ^2и2. При граничных условиях (2), (3) уравнению (4) удовлетворяют решения и2 =0 и и2 = 1. Первое решение будет неустойчивым, а второе -устойчивым [19, 20].

Как начальные будут рассматриваться условия при Ь = 0: и\ = и5б(хо), и2 = 1, из = 0 (б(х) - дельта-функция Дирака). Они подразумевают, что в начальный момент времени в функциональном пространстве нормальных клеток (погибшие клетки отсутствуют) в точке х = хо возникают делящиеся клетки концентрации и0.

Точечная модель. Уравнения для точечной модели можно получить из (1), приняв, что =0 и В2 = 0:

—— = /Х1М1(1 - из) - 71М1М3, аЬ

= /^2^2(1 - м2 - и3) - (72М1М2 + 73М2М3), (5)

—гг = (72И1И2 + 71м1мз + 7з«2« Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где би1(Ь = 0,г) - значение функции би1(Ь, г) в начальный момент времени. Отсюда следует, что в каждой точке прямой решение будет возрастающей функцией времени независимо от значения коэффициента ^1. То есть возникшие на каком-то участке прямой делящиеся клетки, размножаясь, начнут распространяться вдоль прямой. При этом, как следует из третьего и второго уравнений в (6), биз(Ь,х) будет возрастающей функцией времени, а би,2 - убывающей. Рассматриваемое решение будет неустойчивым.

Для случая конечного отрезка решение первого уравнения в (6), удовлетворяющее граничным условиям (2), (3), представляется как тригонометрический ряд (к = 0,1, 2. ) [19, 20, 28, 29]

би1 = ^^ Ск (Ь) ссе кпх/1,

коэффициенты разложения которого Ск = Ск (Ь) должны удовлетворять уравнениям

Поскольку Ц1 > 0, то при начальных положительных значениях Со (Ь = 0) = С0 и С к (Ь = 0) =0 для к =1, 2. где С0 - сколь угодно малая положительная величина, функция Со (Ь) = С0 ехрМ1* будет возрастающей функцией времени и соответственно решение будет неустойчивым.

Стационарным уравнениям (1) удовлетворяет и решение и1 = 0,и2 = 0,из = 1. Линеаризация уравнений (1) в окрестности этого решения приводит к системе уравнений для возмущений

Решения первых двух уравнений в (7) на бесконечной прямой

г / ч f Su1(t = 0,z) ( (x - z)2 \

r 5u2(t = 0,z) ( (x - z)2

6u2(t,x)= J 2 exp(-73t-

будут убывающими функциями времени. Поскольку начальные возмущения Su\(t = 0,x) и Su2(t = 0,x) должны быть положительными, то Sui(t,x) и Su2(t,x) будут положительными. Поэтому решение третьего уравнения в (7)

Su3(t, z) = Su3(0, z) exp J(jiSui(t, z) + jsSu2(t, z)) dt

возрастающей функцией быть не может. Решение ui = 0,u2 = 0,u = 1 устойчиво.

На отрезке длиной l решения первых двух уравнений, удовлетворяющие граничным условиям (2), (3), представляются в виде тригонометрических рядов (к = 0,1, 2. )

Sui = Ak (t) cos knx/l,

Su2 = Bk(t) cosknx/l.

Коэффициенты разложения Ak = Ak(t) и Bk = Bk(t) (к = 0,1, 2. ) должны удовлетворять уравнениям

^ = -(71 + ^¡f = -Ы + D2(kn/lf)Bk.

Их решения будут убывающими функциями времени, и соответственно Su^(t,x) возрастающей функцией не будет; т. е. решение ui =0, u2 =0, u3 = 1 будет устойчивым.

Таким образом, в рамках рассматриваемой модели устойчивым является состояние, в котором отсутствуют делящиеся и нормальные клетки.

Модель иммунного ответа. На начальном этапе роста делящихся клеток иммунная система при некоторых видах опухолей распознает делящиеся клетки и лимфоциты начинают уничтожать их [1, 15, 17]. Пусть u4 = u^(t, x) - линейная плотность лимфоцитов. Тогда математическая модель, описывающая взаимодействие делящихся клеток и лимфоцитов, в предположении об отсутствии из взаимодействия с нормальными и погибшими клетками, имеет вид

Здесь Y12uiu4 в первом уравнении - скорость уничтожения делящихся клеток лимфоцитами, а во втором Y2iuiu4 - скорость гибели лимфоцитов при контакте с делящимися клетками, Di - коэффициент диффузии делящихся клеток, D4 - лимфоцитов, 712,

721 - константы, характеризующие взаимодействие делящихся клеток и лимфоцитов, v - скорость поступления лимфоцитов в область скопления делящихся клеток.

Предполагается, что в отсутствие делящихся клеток система находится в положении равновесия с концентраций лимфоцитов, равной u0. Делящиеся клетки возникают в точке x = xo. При этих предположениях в качестве начальных условий берутся следующие:

ui(0,x)= u°S(xo), U4(0,x)= u4 (9)

При выборе граничных условий предполагается, что

В отсутствие диффузии из уравнения (8) получается точечная модель

—— = ¡ли 1 - 712М1М4, 7 (11)

= --у(м4 - и4) - 721М1М4.

Начальные условия и1(Ь = 0) = и^, и^(Ь = 0) = и°° для уравнений системы (11) предполагают, что в системе, находящейся в равновесии, возникают делящиеся клетки начальной концентрации ио. Система уравнений (11) будет иметь стационарные точки

on 712 ( Mi о \ Mi

В первой стационарной точке собственными значениями матрицы Якоби правой части уравнения (11) будут Ai = —v и Х2 = Mi — 712М4. При выполнении неравенства Mi 712u0, то первая стационарная точка неустойчива, а вторая не имеет физического смысла.

В рамках рассмотренной модели делящиеся клетки погибают при достаточно большом количестве лимфоцитов, в противном случае их количество будет неограниченно возрастать. Это согласуется с экспериментальными результатами [1, 15, 17], в соответствии с которыми в случае превышения размеров реальной опухоли некоторого критического значения остановить ее рост в клинических условиях практически не удается.

Решения (12) являются и решением краевой задачи (8)—(10). Для случая малой концентрации делящихся клеток можно считать, что наряду с этим решением системы уравнений (8) существует близкое к нему решение, в котором 5ui и Su4 - малые

величины: п\ = 5п\,п4 = п4 + бп^. Тогда с точностью до величин второго порядка малости первое уравнение в (8) примет вид

Его решение, удовлетворяющее граничным условиям (10), представляется как тригонометрический ряд

5щ ^^ Тк (Ь)сов кп1/х,

в котором функции Тк = Тк(Ь) (к = 0,1, 2. ) должны удовлетворять уравнениям

При ¡л\ 712п4 функция То = Т0(Ь) будет возрастающей во времени. Начальный этап зарождения раковых клеток можно рассматривать как их возникновение в точке хо =0 с последующим распространением на бесконечной прямой. При малых значениях п1 для описания начальной стадии роста опухоли можно использовать первое уравнение в (8), полагая в нем П4 = п0. При этом предположении

решением первого уравненения в (8) будет [20, 30]

Как из него следует, в первом приближении скорость распространения на отрезке делящихся клеток на раннем этапе их возникновения равна

Полученная оценка скорости роста числа делящихся клеток согласуется с результатами, представленными в работе [8].

Численный метод решения. Система уравнений (1) при граничных условиях (2), (3) является нелинейной. Для построения ее решения использовался численный метод, основанный на конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов как по временной переменной, так и по пространственной [19, 20, 30]. На равномерной сетке с шагами Н = 1/п и т дифференциальные операторы по пространственной и временной переменным функций пк (Ь, х) (к = 1, 2, 3) заменялись разностными отношениями в г-м внутреннем узле (г = 1, 2, 3. п — 1) в момент времени Ь. Система дифференциальных уравнений (1) аппроксимировалась системой алгебраических уравнений

Б3 = 0, г = 1, 2, 3. п — 1, к = 1, 2, 3.

Граничные условия аппроксимировались обычным способом [30]. Полученная

система нелинейных уравнений на каждом временном слое с заданной степенью точности решалась методом простой итерации [19, 20, 31, 32]. Численная реализация осуществлялась в среде программирования математического пакета МЛТЬЛВ с использованием параллельных вычислений [32, 33]. При заданном наборе констант решения строились на отрезке [0, 3]. Решения, построенные при п = 500 и п = 1000, отличались не более чем на 1%.

Для случая одного года ¡ч = 0.7-^, при этом принималось, что 71 = 0.15/^1, отношение ^/¡4 = 0.001 [6]. Результаты численного решения в виде зависимостей и1 = и1(х), и2 = и2(х), и2 = и2(х) в момент времени Ь = 40 для случая ¡2 = ¡1 = 1.4, 71 = 0.2, 72 = 0.1, 73 = 0.2 приведены на рисунке. Время соответствует годам, расстояние - сантиметрам. Как показал анализ результатов численных экспериментов, решение представляло собой автоволну [8] с крутыми передним и задним фронтами (рисунок) для функции и1 = и1(Ь,х), распространяющейся со скоростью, близкой к значению 2а/

Зависимость функций и1(х),и2(х) и и3(х) от координаты в момент времени £ = 40 лет

Автоволновое решение. Решение в виде волны, распространяющейся слева направо со скоростью с на бесконечной прямой, ищется в виде функций, зависящих от аргумента г = х — с£: и1 = и1(х — сЬ), и2 = и2(х — сЬ), из = из(х — сЬ) [8, 33]. Искомые функции должны удовлетворять системе уравнений (см. (1))

32 и1 йи1 сВ\ = — М1ид1 _ из) + 7гыгыз,

сО^-г- = -М2М2(1 —112— из) + 72^1^2 + 73М2М3, аг

с—- = - (72М1М2 + 71М1М3 + 7зм2г(з)(1 - и3). аг

Их решение должно удовлетворять условиям (см. рисунок)

при г = —то и\ =0, и2 = 0, из = 1; при г = +то их =0, и2 = 1, из = 0.

Системе уравнений (13) удовлетворяют два гомогенных решения:

1) их = 0, и2 = 0, из = 1;

2) их = 0, и2 = 1, из = 0.

Решение уравнений (13) окрестности первого решения представляется в виде и\ = би\, и,2 = 5и2, из = 1 — биз. Тогда из (13) с точностью до величин второго порядка малости для первых двух уравнений и с точностью до величин третьего порядка малости для третьего уравнения следуют уравнения для (положительных) возмущений би\, би2, биз

Общее решение первого уравнения записывается как

Как математические модели помогут победить рак


Рак остается одним из заболеваний, которые вопреки развитию медицины и появлению новых препаратов во многих случаях остаются неизлечимыми. Обнаружение онкологического заболевания на поздней стадии и вовсе равняется смертному приговору. Не гарантирует выздоровления и раннее обнаружение раковой опухоли: предлагаемые стратегии лечения могут оказаться малоэффективными, а развитие злокачественного образования предсказать невозможно. Более того, в средней раковой опухоли число клеток превышает число людей, живущих на Земле. При этом клетки из различных областей одной опухоли имеют различный генетический код, что также усложняет попытки предсказать ее распространение.

С этой проблемой попытались разобраться британские ученые, опубликовавшие итоги своей работы в журнале Nature Genetics. Исследователи утверждают, что все виды рака в течение времени развиваются согласно тем же законам природы, которые отвечают за течение рек и изменение яркости небесных тел. Результаты работы ученых помогут сделать лечение каждого из онкологических больных персонифицированным: врачи смогут пользоваться математическими формулами для того, чтобы понять, как развивается опухоль и каким образом с ней лучше бороться.

Модель ученых основана на предположении, что скорость роста числа мутировавших клеток прямо пропорциональна их количеству в данный момент времени, и учитывает, что не все размножившиеся клетки впоследствии окажутся жизнеспособными. Полученная учеными модель является предельным случаем теории биофизиков, нобелевских лауреатов 1969 года по физиологии и медицине Макса Дельбрюка (Max Delbrück) и Сальвадора Лурия (Salvatore Luria;), описывающей экспоненциальный характер накопления мутаций в бактериях.


С другой стороны, согласно закону, предложенному британским математиком Годфри Харди (Godfrey Hardy) и немецким врачом Вильгельмом Вайнбергом (Wilhelm Weinberg), для мутации, произошедшей в некоторый момент времени, частота аллеля должна быть обратно пропорциональна числу аллелей в популяции. В применении к раковой модели это означает, что число мутаций оказывается обратно пропорциональным частоте аллеля. Таким образом ученые получили степенную зависимость, известную, в частности, в физике как модель фликкерного (или розового) шума (от английского flicker — мерцание, дрожание).

Спектральная модель 1/f-шума описывает многие явления — от биологии (как в данном случае) до астрофизики (изменение светимости звезд) и экономики (модели финансовых рынков). Фликкерный шум возникает в системах, состоящих из огромного числа взаимодействующих частиц. Проще всего его понять на примере токового шума в электрическом проводнике, находящемся под напряжением. Наличие 1/f-шума означает невозможность получить точное значение силы тока — в том смысле, что его средняя величина меняется непредсказуемым образом.

Последнее связано не столько с характером усреднения, сколько с природой явления — наличию флуктуаций, предусмотреть которые одновременно невозможно из-за различия в характерных масштабах времен, на которых они определены. В приложении к экономике это можно объяснить следующим образом: имея неограниченные возможности бесконтрольного поступления и расходования денежных средств, человек не сможет озвучить средние суммы своих денежных трат в среднем по времени.


Предложенная учеными модель оказалась практически непригодна в случаях опухоли мозга и поджелудочной железы. Исследователи уверены, что такие заболевания являются более комплексными и во многом зависят от факторов, связанных с естественным отбором. Скорее всего, для понимания присущих им закономерностей необходимо использовать более сложные математические модели.

Читайте также: